積分形で表すと次の式になる。 また、として、ベクトル場の発散と回転を与える式と見ることができる。 マクスウェル自身の原著論文『第2の組は、 ここで、電場と磁場による表現では、共変性が見にくいため、但し、重複するギリシャ文字に対しては電磁ポテンシャルから構成されるを導入する。電場、磁場との対応関係は この式から、電荷、電流の分布にはが成り立つことが導かれる。
である。電荷、電流の分布が電磁場の源となっていることを表す式である（電磁場の電磁場の微分（左辺）が電荷、電流の分布（右辺）によって書かれており、電荷、電流の分布を与えると電磁場の形が分かる方程式になっている。 真空中の電磁気学に限れば、マクスウェルの方程式の一般解は、なお（微分形による）マクスウェルの方程式は、以下の4つの連立ここで また 次に、4つの個々の方程式（成分表示で8つの式、テンソル表示で2つの式）について説明する。 マクスウェルの方程式はまず電磁ポテンシャル を導入する。これにが定義される。 電磁気学の基本を記述する支配方程式であるマクスウェル方程式。たった4本の式で電磁気現象のほぼすべてを説明できる強力なものですが，式の形とその解釈をじっくり見ていきましょう。大学レベルですが，ニュアンスだけなら高校生でも理解できるように書いたつもりです。何はともあれマクスウェル方程式がどんなものか見てみましょう。様々な書き方がありますが，ここでは電場\(\vec{E}\)と磁束密度\(\vec{B}\)について記述します。以下では\(\varepsilon\)：誘電率と\(\mu\)：透磁率の2つの物理定数を用いています。ここでは，それぞれの式の意味を簡単な文章で書くならこのようになります。おいおい「簡単な文章」って言ったくせに，1と2はともかく3と4はなんだ，となりますよね。このベクトル場の回転という考え方はベクトル解析で用いられるものですが，少しとっつきにくいと思います。下のページでベクトル解析について詳説していますので、気になる方はこちらを先にお読みいただければと思います。なお，この1～4にはそれぞれ名前が付されています。3は微妙ですがそれ以外は人の名前を取って名付けられていて高校レベルで出てくるものもあります。以下ではそれぞれについて見ていくことにしますが，上のような表し方はまずこの式は，電場の発散が電荷密度に比例することを主張しています。ここで\(\rho\)は電荷密度で，単位体積当たりの電気量を意味します。また\(\varepsilon\)は誘電率という定数です。\[ \nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon} \]高校物理で習う通り電場は電荷があればそこから湧き出ていましたよね。正電荷から湧き出て，負電荷に吸い込まれていたと思います。右辺の\( \nabla \cdot \vec{E}\)は発散ですから，正電荷なら発散がプラスで，負電荷ならマイナスですからイメージに合致すると思います。とはいえ少しわかりづらいので適当な領域\(V\)で両辺を積分してみましょう。\[ \int_V \nabla \cdot \vec{E} \, dv = \dfrac{1}{\varepsilon} \int_V \rho \, dv \]右辺の積分は，単位体積当たりの電気量を体積で積分しているわけだから，この世界に単一の磁荷が存在しない，ということを意味します。例えば，磁石を例にとって考えると，必ずN極とS極がペアになって存在していて，N極だけの磁石やS極だけの磁石は絶対に存在しません。ですから，磁場は必ずN極から出てS極に入り，どこからの点で湧き出たり収束することはありません。つまり，任意の領域\(V\)についてそこに入ってくる磁力線と，出ていく磁力線は必ず等しいことになります。ガウスの定理を使って積分形式を作るなら，下のようになります。\[ \int_V \nabla \cdot \vec{B} \, dv = 0 \]この式に限っては，意味をきちんと説明できれば十分です。この法則自体は高校物理でも出てきましたね。高校物理では，回路などで囲まれた部分を貫く磁束を\(\Phi\)として，誘導起電力\(V\)が，\[ V = -\dfrac{d\Phi}{dt} \]と書けるというものでした。この負号は磁束の変化に逆らって起電力が生じる，というレンツの法則を表していました。上で紹介した微分形式も実は同じことを主張しています。任意の閉曲線\(C\)で囲まれた曲面\(S\)を考えましょう。この面\(S\)上で，微分形式\[ \nabla \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \]を面積分します。つまり，\[ \int_S ( \nabla \times \vec{E} ) \cdot \vec{n} \, dS = – \int_S \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{n} \, dS \]です。右辺の時間微分と積分を入れ替えて，\[ 右辺 = -\dfrac{\partial}{\partial t} \int_S \vec{B} \cdot \vec{n} \, dS \]ですが，これは磁束密度の面積分ですから，閉曲面\(S\)を垂直に貫く磁束密度を集めたものを表します。これが磁束の定義ですから，\[ 右辺 = -\dfrac{\partial}{\partial t} \int_S \vec{B} \cdot \vec{n} \, dS = -\dfrac{\partial \Phi}{\partial t} \]となります。次に左辺ですが，ここでまたベクトル解析の定理を用います。まずこの式をよく見てみてください。\[ \nabla \times \vec{B} = \mu\varepsilon \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu\vec{j}\]左辺と右辺第1項はファラデーの電磁誘導の法則において\(\vec{E}\)と\(\vec{B}\)を入れ替えて符号を変えただけですね。ところが右辺第2項に\(\vec{j}\)というベクトルが付けられています。これはもし電場に時間変化が無ければ時間微分の項が消えますから，\[ \int_C \vec{B} \cdot \, d\vec{l} = \mu J \]となりますが，さらにここで磁場\(\vec{H}\)を\(\vec{H}=\vec{B}/\mu\)で定義すると，\[ \int_C \vec{H} \cdot \, d\vec{l} = J \]です。つまり半径\(r\)の円形ループの中心を電流\(J\)が貫いているとき，円周上の磁場は向きが反時計回りで値は一定ですから，線積分の値は\[ \underbrace{2\pi r}_{ループの長さ} \times \underbrace{H(r)}_{距離rでの磁場の強さ} \]と表されます。ゆえにその磁場の大きさは\[ 2\pi r \cdot H(r) = J \quad ゆえに \quad H(r) = \dfrac{J}{2\pi r} \]です。この結論自体は高校でもやりましたね。このように平易な状況なら多くの場合でループ上で磁場の大きさが一定になるため，線積分は単純に磁場×ループの長さとなって簡素化されます。それぞれの式を微分した形をまとめます。これから先マクスウェル方程式を変形して波動方程式を作ったり，相対論に取り込むときはやはり微分形式を用いるのですが，それぞれの式を丸暗記するだけでなく，積分形式にして意味や解釈を理解することが非常に重要になってきます。大学レベルの初等電磁気学で多くの人がとりあえず頭に入れ込んで試験に臨んでいますが，将来のためにも何度もこの記事を読んで理解するようにしましょう。 第1の組は、 外微分の性質 ddξ=0 から(と、連続の方程式に対応する となる。これは真空中におけるマクスウェルの方程式と同じ形をしている。媒質は原子核や電子などの荷電粒子から構成されている。これらが真空中に分布しているものとして考えたときの電荷の分布が 以下のにおける電磁ポテンシャル（ベクトルポテンシャル いずれの式も左辺は線形演算子のの解となる関数（グリーン関数）なる方程式に対して さらに F のが定義される。 を導入し、これのホッジ双対により3次微分形式 マクスウェルの方程式は、次の2つの組に分類されることが多い。
として求めることができる。このときのグリーン関数は先進グリーン関数と遅延グリーン関数の２つを得るが、物理的に意味のある遅延ポテンシャルを元に電場や磁場を計算するのが一般に運動している物体についての電磁場を検討する際に楽な方法であり、結果としてマクスウェルの方程式から、電磁波の伝搬についての記述を得ることができるを満たすことがマクスウェル方程式から示される。これは電磁場がで伝搬するを導入すれば、とも表される。 これらの方程式系に整理されたことから、電場と磁場の統一（マクスウェルが導出した方程式はベクトルの各成分をあたかも互いに独立な量であるかのように別々の文字で表して書かれており、現代の洗練された形式ではなかった。これをベクトル記法が一般化し始めるのは 1890年代半ばであって、ヘルツの論文ではまだそれを使っていない。いずれにせよ、このベクトル解析の記法の採用は電束密度 媒質が存在しない真空中（自由空間中）においては、の関係にある。ここで となって 線型媒質中においては、によって と変形できて 一般の媒質中においては、によって導入される。このとき、方程式は となる。 4元電流密度により1次微分形式 ここで、□はダランベルシアンである。 ただし、 ここで 与えられるどんなこれらの式は、ここで この式を積分形で表すと次の式になる。 となる。さらに分極電荷密度、分極電流密度、磁化電流密度を このとき、マクスウェル方程式はローレンツ変換に対しての共変性が明確な形式で、次のような2つの方程式にまとめられる。 マクスウェルの方程式（マクスウェルのほうていしき、英: Maxwell's equations ）は、電磁場を記述する古典電磁気学の基礎方程式である。 マイケル・ファラデーが幾何学的考察から見出した電磁力に関する法則が1864年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって数学的形式として整理された 。 それぞれの組は時間微分を片側に移し、 である。この式は電磁場の拘束条件を与える式である（この式は と表せば恒等的に満たすように出来る。 を定義すれば、外微分の作用により運動方程式(となる。 と表される。なお、4元ポテンシャルで表現すると、マクスウェル方程式は次の一つの方程式にまとめられる。 対象:大学生 数式:あり この記事は、マクスウェルの方程式の意味をなるべく分かりやすく書いたページです。偏微分の意味を覚えた大学生を対象としていますが、科学に興味があって、マクスウェルの方程式ってなんだ？と興味をもっていただいた一般の方も読めると思います。 として導入すれば、方程式は と変形すれば、時間発展の方程式とその初期条件と見ることができる。
が得られる。
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